在铁路工程建设和系统维护中, 传统和人工的测量方法已不能满足需要, 现代化、自动化的测量和维护方法已得到广泛应用。在轨道测量中大多采用全站仪, 主要的方法是在一些已知基桩点上安置棱镜并自由架设全站仪, 通过对棱镜的观测进行全站仪设站, 再以当前的全站仪为站点观测待测点(如轨道精调小车上的棱镜) , 通过计算获得待测点的坐标。由于铁路提速的需要, 要求对轨道中线坐标的测量精度中误差在毫米以内。虽然全站仪测量精度很高, 测角能达到精度, 测距能达到2+ 2 ppm, 但测量步骤较多, 每步都有可能引起和扩大误差, 导致要达到毫米级的测量精度有一定困难 。所以, 在测量过程中应注意有可能引起误差的每一个环节, 尽可能减小每一次观测的测量误差, 选择合理的设站位置, 以及采用更优的算法补偿系统误差等, 都有利于最终精度的提高。
1 边角平差法提高设站精度
根据测量任务的不同, 全站仪的设站方法有: 一边一角后方交会法、两边距离交会法、双边单角后方交会法3种。以一边一角后方交会法为例, 只要测量两已知点的夹角及到其中一个已知点的距离, 就可以求出站点的坐标。但这种方法往往会造成精度比较差, 要想尽量减小观测所产生的误差, 提高站点的精度, 可以采用对多个已知点进行观测, 最后进行平差的方法实现。本文在此主要介绍测量多个已知点的角度和连长, 并利用所有观测值进行边角平差的方法提高站点精度。
如图1所示, 在P 点架设全站仪, 在1到8点两点上安置棱镜, 测得8 条边S1、S2、S3 ……S8及7个角\(\gamma _1\)、\(\gamma _2\)、\(\gamma _3\)……\(\gamma _7\), 由于必要观测个数仅为2, 而观测数为15,存在13个多余观测, 利用平差来提高站点精度。
按间接平差法, 其误差方程式为:
$$V_{si}=\cos a_i dx_p+\sin a_idy_p+l_i \qquad（1）$$
$$V_{\gamma j}=\left ( \frac{\rho }{S_j}\sin a_i+\frac{\rho }{S_{j+1}}\sin a_{i+1}\right )+dx_p+\left ( \frac{\rho }{S_j}\cos a_i+\frac{\rho }{S_{j+1}}\cos a_{j+1}\right )dy_p+\omega _j \qquad（2）$$
$$l_i=S^0_i-S_i，\omega _j=\gamma^0_j-\gamma_j \qquad（3）$$
式中
\(a_i\)——第i点到P 的坐标方位角近似值;
\(S_i\)——第i条边的测量值;
\(S^0_i\)——第i条边的近似值;
\(\gamma _j\)——第j条边与第( j+1) 条边的夹角的测量值;
\(\gamma^0_j\)——第j条边与第( j+1) 条边的夹角的近似值。
\(S^0_i\)和\(\gamma^0_j\)值可由站点的近似坐标反算求得。
由此得到矩阵式方程组为:
$$\underset{n\times 1}{V}=\underset{n\times 1}{B}\cdot \underset{t\times 1}{\delta X}+\underset{n\times 1}{l}\qquad（n=15，t=2）\qquad（4）$$
(n=15, t=2) 矩阵式是相容方程组, 式(4)中有2个待定的改正数和15个未知数, 共17个待定量, 而方程只有15个, 所以有无穷多组解。为了寻求 组唯一的解, 按数学上求函数自由极值的理论, 应在VTPV=min的准则下求解, 由此得到BTPV=0。要得到方程的解, 还必须确定P 矩阵, 根据全站仪的测量原理, 其测角和测边是相互独立的, 所以矩阵P是一个15×15的对角阵 , 如式(5)所示。
$$P = \begin{bmatrix}Ps_1&0& & \cdots& &0\\0&\ddots & & & & \\& & Ps_8& & &\vdots \\\vdots& & & P\gamma _1 & \\& & & & \ddots &0 \\0& & \cdots & & 0 &P\gamma _7\end{bmatrix}\qquad（5）$$
式中:
Psi——测量边的权值,\(Ps_i=\frac{\sigma ^2_0}{\sigma ^2_{S_i}}\);
\(P_{\gamma _i}\)——观测角的权值,\(P_{\gamma _i}=\frac{\sigma ^2_0}{\sigma ^2_{\gamma _i}}，\sigma ^2_{\gamma _i}=S^2\cdot \frac{m^2_\beta }{206265^2}\)。
其中:
\(\gamma _{s_i}\)为全站仪的测边误差, 例如TOPCON9000A 全站仪的精度为\(\sigma _{s_i}=2+S_i\times 2\times 10^{-6}\) ( mm );mβ为全站仪测角误差, TOPCON 9000A 全站仪的测角误差为1s, 而Leica 2003全站仪测角误差为0.5s, 以上公式中σ0均取1。最后利用矩阵求逆或解高斯方程的方法解出所有未知量\(V_{s_i}、V_{\gamma_i}\)和dx、dy。从而得到最后的站点坐标:
$$\left\{\begin{matrix}
x=x_0+dx \\
y=y_0+dy
\end{matrix}\right.$$
2 程序补偿法提高设站精度
以平差法计算站点坐标, 虽然在一定程度上提高了站点坐标的精度, 但站点坐标误差仍然存在且不可忽视。程序补偿法是利用PC 机强大的计算能力, 以已知观测点残差最小为目标, 寻找站点坐标补偿值dx、dy、dz。
程序补偿法可以直接根据全站仪观测量先求站点近似坐标, 再对近似坐标进行坐标补偿, 也可以在利用其它算法求得站点坐标的基础上对其坐标进行补偿。设已经求得的站点坐标为xs、ys、zs, 则需要求解的就是其补偿值dx、dy、dz。充分利用计算机超强的计算速度和计算能力, 建立相应的循环, 逐步改变dx、dy、dz,使站点坐标最优, 误差最小。问题的关键在于如何评判站点坐标的最优, 建立一个评判标准是方法的核心(当然读者也可以尝试自己的评判标准)。本文以ƒ ( dx, dy, dz)为各观测点坐标中误差最小为目标函数,作为站点坐标最优的标准。以补偿后的站点坐标及观测边与观测角计算出棱镜点的坐标( xi、yi、zi ):
$$\left\{\begin{matrix}
x_i=x_s+dx+S_i \cos(\gamma _i) \cos(A+\beta _i)\\
x_i=y_s+dy+S_i \cos(\gamma _i) \sin(A+\beta _i)\\
z_i=z_s+dz+S_i \sin(\gamma _i)
\end{matrix}\right.$$
式中
Si——第i条观测边的水平距;
A——全站仪坐标系与大地坐标系的夹角;
βi—— 第i条边的水平观测角;
\(\gamma _i\)——第i条边的垂直观测角。
xs、ys、zs 站点的近似坐标。
各观测点的坐标中误差间接反应了所求得的站点坐标的准确性, 这里将目标函数ƒ( dx, dy, dz )与各观测量中误差建立联系。将各观测量的测量中误差的匀值作为目标函数计算式, 则:
$$f（dx，dy，dz）=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left [ \sqrt{(x_i-x^0_i)^2+(y_i-y^0_i)^2+(z_i-z^0_i)^2}\right ]}{n}\qquad（7）$$
式中:
\(x^0_i，y^0_i，z^0_i\)——第i点的已知坐标;
n——观测点的个数。
最后经过优化补偿后的站点坐标\((\acute{x_s}、\acute{y_s}、\acute{z_s})\)为:
$$\left\{\begin{matrix}
\acute{x_s}=x_s+dx\\
\acute{y_s}=y_s+dy\\
\acute{z_s}=z_s+dz
\end{matrix}\right.$$
程序中首先以fm in ( dx, dy, dz )存放当前的f ( dx,dy, dz )值, 此后以一定步长的dx、dy、dz 为自变量, 在一定范围内寻找最优的站点补偿坐标。为了减少循环次数, 提高速度, 可用2次循环, 设置不同步长来寻找最优补偿值。
程序是以C++ Buidler 5. 0为环境来编写的, 由于对站点坐标进行补偿后, 会微量改变两坐标系的夹角,因此, 程序里还加入了对两坐标系夹角的补偿dA。
3 方法验证及测量数据
以上2种方法主要应用在江西日月明公司轨道测量与分析系统中, 以Panason ic CF- 19计算机上的软件系统控制全站仪对已知基桩点进行照准和测量, 通过无线模块传送数据, 以平差法或程序补偿法计算站点坐标并做相应的精度评价。最后以定点方式测量轨道测量小车上棱镜点的坐标, 并结合测量小车内部传感器(如轨距、水平、轨向、高低)等计算出轨道中线三维坐标、轨道中线横向偏差、轨道左右轨高程偏差等,用于施工指导。
根据以上2 种设站算法的理论推导, 采用C++Buidler 5. 0编译软件编写程序代码, 实现了应有的功能; 并采用Le ica 2003全站仪和无线通讯模块等附件进行了实验。
实验环境:
温度: 23 ~ 29 % ; 气压: 1 011 ~ 1 012hP; 湿度:50% ~ 60%; 空气: 有风( 3~ 4级风速)。
实验方法:
将全站仪在一中线桩上固定和锁死, 设置全站仪的站点坐标为北( 0. 501m), 东( 3. 806m ), 高( 21. 365m);在此站点坐标下以多测回测量全站仪两侧8个棱镜的坐标, 重复8次, 并将8次测量的平均值作为8个棱镜的已知坐标。打乱全站仪的站点坐标, 分别用以上2种方法进行全站仪设站和站点坐标求取, 所求取的站点坐标如表1所示。
表1 全站仪自由设站站点坐标
| 边长交会法 | 边角交会法 | 程序补偿法 | 参考站点 | 比较差 | |||
| N | 0.50054m | 0.50042m | 0.50088m | 0.501m | -0.46mm | -0.58mm | -0.12mm |
| E | 3.80461m | 3.80494m | 3.805224m | 3.806m | -1.38mm | -1.06mm | -0.78mm |
| Z | 21.3647m | 21.36477m | 21.36487m | 21.365m | -0.23mm | -0.23mm | -0.13mm |
根据站点坐标中误差公式: \(m_p=\sqrt{m^2_x+m^2_y+m^2_z}\) ,可以得到未经改进算法(边长交会法) 的站点残差1. 472719mm; 利用改进算法计算出的站点残差分别为1. 23mm和0. 799812mm。
4 结论
实验和测量数据表明, 以上2种方法对设站精度都有一定的提高, 边角平差法在气压、温度、光线及地面折光等设站玩境较理想时, 边角平差法设站精度较高。而程序补偿法正好相反, 在设站环境恶劣, 平差法设站精度较差时, 恰好能对环境所产生的系统误差进行补偿。同时程序补偿的另一个优点是可以在其任何算法的基础上进行计算, 其站点精度只会提高而不会变差。程序补偿法的目标函数并不唯一, 可以用单一函数, 也可以用多个函数加权的办法实现, 是否能找到更优的目标函数, 进一步提高设站的精度, 有兴趣的读者可以做一些相关的尝试。
文章来源:
作者 ： 朱洪涛 吴维军 王志勇
名称：提高全站仪自由设站精度方法的研究
作者单位 ： 南昌大学,南昌,330031
刊 名： 铁道工程学报 ISTICPKU
年，卷(期) ： 2009, (5)
