曲线正矢计算公式推导过程

1 圆曲线正矢计算推导

图1 圆曲线正矢计算图

如图1所示，在直角三角形LDC中

OC²=OL²+LC²

OC=R,OL=R-F,LC=L/2

即可得：

$$R^2=(R-F)^2+(\frac{L}{2})^2$$

即可推出

$$2RF=\frac{L^2}{4}+F^2$$

上式F值比R甚小，F可省略不计算，并不影响便用的要求。

于是可得出：

$$F=\frac{L^2}{4}\times \frac{1}{2R}=\frac{L^2}{8R}$$

上式即为圆曲线半径、弦长、正矢之间的几何关系式。

图2 圆曲线与直线的直接连接

圆曲线上各点正矢(始点和终点除外)相等。如果圆曲线与直线直接接连，其始点ZY上的正矢F_o与圆曲线正矢F_c的关系,可从图2求得。如ZY不在测点上,其距直线上的测点О为a,距圆曲线上测点1为b。ZY点与坐标原点重合。测点О的正矢为F_o，测点1的正矢为F₁，y₁与y₂分别为1和2点的切线支距，x₁与x₂为相应的横坐标，L为弦长，测点间距可近似等于L/2。

由三角形(-111′),可得\(F_o=\frac{y_1}{2}\)，由图得圆曲线方程\(x^2+(y-R)^2=R^2\)，又由三角形(O11′)近似地得\(x_1^2=b^2-y_1^2\),代入上面的圆曲线方程得\(x_1^2+(y_1-R^2)=R^2\),故\(b^2-y_1^2+(y_1-R)^2=R^2\),解得:\(y_1=\frac{b^2}{2R}\)

则\(F_o=\frac{b^2}{4R}\)

利用公式\(F_c=\frac{L^2}{8R}\)中的R于F_C的关系，带入上式可得F_o与F_c间的关系：\(F_o=\frac{2F_cB^2}{L^2}\)

若ZY点在测点上,则a=0,b=L/2,由上式得:\(F_o=\frac{F_c}{2}\)

即ZY点处的正矢为圆曲线正矢之半。

测点1的正矢F₁，计算如下:

将测点2的坐标代入圆曲线方程式,得:\((y_2-R)^2=R^2-x_2^2\)

由三角形(O’22’)得：\(x_2^2=(b+\frac{L}{2})^2-y_2^2\)

代人上述圆曲线方程得：\(y_2=\frac{(b+\frac{L}{2})^2}{2R}\)

再利用R与F_C的关系,代人上式可得\(y_2=\frac{4F_c(b+\frac{L}{2})^2}{L^2}\)

同样利用三角形(O22′),并由于曲线半径R很大,可以近似地认为F₁在y₁的延长线上，由此可得：\(F_1=\frac{y_2}{2}-y_1\)

将y₁,y₂和b=L/2-a，代入上式得：

$$F_1=\frac{4F_c(b+\frac{L}{2})^{2}}{2L^{2}}-\frac{b^2}{2R}\\
=\frac{4F_c(\frac{L}{2}-a+\frac{L}{2})^{2}}{2L^{2}}-\frac{4F_c(\frac{L}{2}-a)^2}{L^2}\\
=\left (1-\frac{2a^2}{L^2}\right )F_c \\
=\left [ 1-2\left ( \frac{a}{L}\right )^2\right ]F_c$$

如若ZY点在测点上,a=0,则f₁ =f_c

2 缓和曲线计划正矢的计算推导

图3 缓和曲线计算正矢计算图

(一)测点在缓和曲线始终点时的计划正矢的计算

图3所示为缓和曲线始点附近的一段,O为缓和曲线的始点ZH,o,1，2,……为正矢测点,其正矢分别为F_o、F₁、F₂、F₃、……。以入表示测点间的距离,为正矢弦长L的一半,y₁、y₂、y₃…为各测点的切线支距。对常用缓和曲线,切线支距y可用下式求取:

$$y=\frac{L^3}{6Rl_o}$$

式中,L为测点至缓和曲线始点ZH 的曲线长度。

由于测点间距为λ,可近似地认为L=Σλ,由此可得各点的切线支距为：

$$y_1=\frac{\lambda ^3}{6Rl_o}\\y_2=\frac{(2\lambda )^3}{6Rl_o}=8y_1\\y_3=\frac{(3\lambda )^3}{6Rl_o}=27y_1$$

由于缓和曲线终点处切线的总折角φ很小,可以认为图3中的F₁与F₂分别位于y₁与y₂的延长线上,可知

$$F_1=\frac{1}{2}y_2-y_1=3y_1$$

将y₁代入得

$$F_1=\frac{\lambda ^3}{2Rl_o}=\frac{\frac{\lambda ^2}{2R}}{\frac{l_o}{\lambda }}=\frac{F_c}{n}$$

式中, F_c为圆曲线正矢，\(F_c=\frac{L^2}{8R}=\frac{\lambda ^2}{2R}\);n为缓和曲线的测点分段数.其值为\(\frac{L_o}{\lambda}\)。

因为缓和曲线上各点的半径σ是变化的,所以除第1点外的其他各点正矢由图3可得

F₂=2F₁、F₃=3F₁、……、F_n-1=（n-1）F₁

因此,可将缓和曲线始点后第1点的正矢f₁，称为“缓和曲线的正矢递增率”,用f_d表示.即

$$F_d=F_1=\frac{F_c}{n}$$

可得

F₂=2F_d、F₃=3F_d、……、F_n-1=（n-1）F_d

缓和曲线始点处的正矢由图3得，\(F_0=\frac{1}{2}y_1=\frac{F_1}{6}\),因为F₁=F_d，所以

$$F_0=\frac{F_d}{6}$$

于是有缓和曲线终点处的正矢

$$F_n=F_c-\frac{F_d}{6}$$

这是因为终点(HY)右侧为圆曲线(正矢等于F_c),左侧为缓和曲线(正矢小于F_c且按比例递减),所以,该点的正矢应较圆曲线正矢减少缓和曲线正矢递增率的1/6。

由此可见.常用缓和曲线正矢按直线比例递增﹐只要按式\(F_d=F_1=\frac{F_c}{n}\)求得F_d后，便可算得其他各点的正矢。

(二)测点不在缓和曲线始,终点时计划正矢的计算

图4 缓和曲线始点左右邻点计划正矢计算图

由于圆曲线长度一般都不正好是10m 的整倍数,因此其中一端的缓和曲线就不可能恰好落在测点上。这样始终点左右相邻点的正矢要另作计算。

(1)缓和曲线始点左右邻点计划正矢的计算，如图3所示，ZH不在测点上，位于直线上О点与缓和曲线上1点之间,O点距ZH 为a,1点距ZH为b,相应的正矢分别为F_o和F₁。λ为半弦长,即λ=L/2。

由图4可见

$$F_0=\frac{1}{2}y_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{b^3}{6RL_O}$$

因为，\(R=\frac{\lambda ^2}{2F_c}，L_o=n\lambda ，F_d=\frac{F_c}{n}\)，代入上式并简化,得

$$F_a=F_d\frac{1}{6}\left ( \frac{b}{\lambda }\right )^3=a_a\cdot F_d$$

式中α_a=1/6(b/λ)³，称为求ZH左侧О测点正矢F_O的修正系数(也称纵距率)。

$$F_1=\frac{y_2}{2}-y_1=\frac{\left ( b+\lambda \right )^3}{2\times 6RL_O}-\frac{b^3}{6RL_O}$$

与上述相同,简化后可得

$$F_1=\frac{1}{6}F_d\left [ \left ( 1+\frac{b}{\lambda }\right )^3-\left ( \frac{b}{\lambda }\right )^3\right ]=a_a\cdot F_d$$

式中：

$$a_b=\frac{1}{6}\left [ \left ( 1+\frac{b}{\lambda }\right )^3-\left ( \frac{b}{\lambda}\right )^3\right ]$$

称为求ZH右侧测点1正矢F₁的“修正系数”。

(2）缓和曲线终点左右邻点计划正矢的计算

图5 缓和曲线终点左右邻点计划正矢计算图

如图5所示,缓和曲线终点(HY)不在测点上,位于圆曲线上的3点与缓和曲线上2点之间;3点距HY为a,2点距HY为b;相应的正矢为F₂和F₃。

根据同样的推理,可得

$$F_2=F_c-F_d\frac{1}{6}\left [\left (1+ \frac{b}{\lambda }\right )^3-\left (\frac{b}{\lambda } \right )^3\right ]$$

$$F_3=F_c-F_d\left ( \frac{b}{\lambda }\right )^3=F_c-a_1F_d$$

式中,a₂及α₃分别为求HY右侧3点和左侧2点正矢F₃和F₂的“修正系数”。