在单曲线坐标系下,常用铁路曲线由两端的切直线、缓和曲线及中间的圆曲线五个线元组成,如图 1。现建立以线路中心线 ZH(HZ)点为坐标原点,始(终)切线为 X 轴的坐标系线路曲线五段方程式,以相对里程 S 为自变量, S 在 ZH(HZ)处里程取值为 0,则 HY点为l01 ,YH 点为 L – l02 , HZ 为曲线全长 L ,根据前面推导的公式,总结出五段方程式为:
第一段方程: -∞~ZH (第一切线,S 取值范围: -∞~0之间)
$$\left.\begin{matrix} x=S\\ y=0 \end{matrix}\right\}(公式 2-1-1),\beta =0$$第二段方程: ZH~HY (第一缓和曲线)
$$\left.\begin{matrix} x=S-\frac{S^5}{40\times R\times l_{01}^2} \\ y=\frac{S^3}{6\times R\times l_{01}} -\frac{S^7}{336 \times R^3 \times l_{01}^3} \end{matrix}\right\}(公式2-1-2),\beta =\frac{S^2}{2\times R \times l_{01}} $$第三段方程: HY~YH (圆曲线)
任意点的切线方向,直接求导数,
$$\left.\begin{matrix} x=R\times \sin \left ( \beta \right )+m_1 \\ y=R\times \left ( 1-\cos \beta \right ) +P_1 \end{matrix}\right\}(公式 2-1-3)\\ \beta =\frac{l_{01}^2}{2\times l_{01}\times R} +\frac{\left ( S-l_{01} \right )^2 }{R} $$第四段方程: YH~HZ (第二缓和曲线)
$$\left.\begin{matrix} x=T_1+T-2\left ( \frac{(L-S)^3}{6\times R \times l_{01}} – \frac{(L-S)^7}{336\times R^3 \times l_{01}^3}\right ) \times \sin \alpha -(L-S)\times \frac{1-(L-S)^4}{40\times (l_{02}\times R)^2}\times \cos \alpha \\ x=T_2+\sin \alpha -(L-S)- \frac{1-(L-S)^4}{40\times (l_{02}\times R)^2} \times \sin \alpha +\left ( \frac{(L-3)^3}{6\times R\times l_{02}} – \frac{(L-S)^7}{336\times R^3\times l_{02}^3}\right ) \times \cos \alpha \end{matrix}\right\}(公式2-1-4) \\ \beta =a -\frac{(L-S)^2}{2\times l_{02}\times R} $$第五段方程: HZ~+∞ (第二切线,自变量 S 为从 ZH 点开始至计算点的线长)
$$\left.\begin{matrix} x=T_1+T-2\times \cos \alpha + (S-L) \times \cos \alpha \\ x=T_2+\sin \alpha +(S-L)\times\sin \alpha \end{matrix}\right\}(公式2-1-5) \\ \beta =a =\frac{l_{01}+l_{02}}{2\times R} +\frac{L-l_{01}-l_{02}}{R} $$ $$L=\alpha \times R+\frac{l_{01}}{2} +\frac{l_{02}}{2} $$公式说明:
a——曲线转角;
L——曲线全长;
S ——ZH(HZ)点至计算点间的长度;
l01、l02——第一、二缓和曲线长;
R——圆曲线半径。
$$ 曲线总转角:a=\frac{l_{01}+l_{02}}{2\times R }+\frac{L-l_{01}+l_{02}}{R} \\ 测点切线方位角:\beta (rad)\\ 缓和曲线中心角:\beta _o=\frac{l_o}{2\times R} \\ 外矢距:E_o=\left ( R+p \right ) \times \sec \frac{\alpha }{2} -R \\ 缓和曲线内移距:P_1=\frac{l_{01}^2}{24\times R} -\frac{l_{01}^4}{2688\times R^3} ,P_2=\frac{l_{02}^2}{24\times R} -\frac{l_{02}^4}{2688\times R^3} \\ 缓和曲线切垂距:m_1=\frac{l_{01}}{2} -\frac{l_{01}^3}{240\times R^2} +\frac{l_{01}^5}{34560\times R^4},m_2=\frac{l_{02}}{2} -\frac{l_{02}^3}{240\times R^2}+\frac{l_{02}^5}{34560\times R^4} \\ 曲线切线长度:T_1=\frac{R+P_2}{\sin \alpha } -\frac{R+P_1}{tg \alpha }+m_2 $$![铁路单曲线线路中心线坐标方程](https://www.guimei8.com/wp-content/uploads/2024/06/图1等长缓和曲线线路平面图.jpg)
如果曲线偏角a 大于 180°时,切线公式为(证明从略):
$$T_1=(R+p_1)\times tg\left ( \frac{2\times \pi -a}{2} \right ) -\frac{p_1}{\sin \left ( 2\times \pi -a \right ) }+\frac{p_2}{\sin \left ( 2\times \pi -a \right )}-m_1 $$ $$T_2=(R+p_1)\times tg\left ( \frac{2\times \pi -a}{2} \right ) -\frac{p_1}{\sin \left ( 2\times \pi -a \right ) }+\frac{p_1}{\sin \left ( 2\times \pi -a \right )}-m_2 $$如为曲线向右转,则纵坐标 y=-y ,测点切线方位角:- β(rad),其他与左转曲线一致。
大哥这显示不完全
内含公式,需要用电脑访问。