铁路单曲线线路中心线坐标方程

在单曲线坐标系下，常用铁路曲线由两端的切直线、缓和曲线及中间的圆曲线五个线元组成，如图 1。现建立以线路中心线 ZH（HZ）点为坐标原点，始（终）切线为 X 轴的坐标系线路曲线五段方程式，以相对里程 S 为自变量， S 在 ZH（HZ）处里程取值为 0，则 HY点为l₀₁ ，YH 点为 L – l₀₂ ， HZ 为曲线全长 L ，根据前面推导的公式，总结出五段方程式为：

第一段方程： -∞～ZH (第一切线，S 取值范围: -∞～0之间)

$$\left.\begin{matrix} x=S\\ y=0 \end{matrix}\right\}（公式 2-1-1），\beta =0$$

第二段方程： ZH～HY (第一缓和曲线)

$$\left.\begin{matrix} x=S-\frac{S^5}{40\times R\times l_{01}^2} \\ y=\frac{S^3}{6\times R\times l_{01}} -\frac{S^7}{336 \times R^3 \times l_{01}^3} \end{matrix}\right\}(公式2-1-2)，\beta =\frac{S^2}{2\times R \times l_{01}} $$

第三段方程： HY～YH (圆曲线)󠄐󠄹󠅀󠄪󠄤󠄩󠄞󠄦󠄩󠄞󠄧󠄦󠄞󠄧󠄨󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮󠄐󠅅󠄹󠄴󠄪󠄾󠅟󠅤󠄐󠄼󠅟󠅗󠅙󠅞󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮

任意点的切线方向，直接求导数，󠄐󠄹󠅀󠄪󠄤󠄩󠄞󠄦󠄩󠄞󠄧󠄦󠄞󠄧󠄨󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮󠄐󠅅󠄹󠄴󠄪󠄾󠅟󠅤󠄐󠄼󠅟󠅗󠅙󠅞󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮

$$\left.\begin{matrix} x=R\times \sin \left ( \beta \right )+m_1 \\ y=R\times \left ( 1-\cos \beta \right ) +P_1 \end{matrix}\right\}（公式 2-1-3）\\ \beta =\frac{l_{01}^2}{2\times l_{01}\times R} +\frac{\left ( S-l_{01} \right )^2 }{R} $$

第四段方程： YH～HZ (第二缓和曲线)󠄐󠄹󠅀󠄪󠄤󠄩󠄞󠄦󠄩󠄞󠄧󠄦󠄞󠄧󠄨󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮󠄐󠅅󠄹󠄴󠄪󠄾󠅟󠅤󠄐󠄼󠅟󠅗󠅙󠅞󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮

$$\left.\begin{matrix} x=T_1+T-2\left ( \frac{(L-S)^3}{6\times R \times l_{01}} – \frac{(L-S)^7}{336\times R^3 \times l_{01}^3}\right ) \times \sin \alpha -（L-S）\times \frac{1-(L-S)^4}{40\times (l_{02}\times R)^2}\times \cos \alpha \\ x=T_2+\sin \alpha -(L-S)- \frac{1-(L-S)^4}{40\times (l_{02}\times R)^2} \times \sin \alpha +\left ( \frac{(L-3)^3}{6\times R\times l_{02}} – \frac{(L-S)^7}{336\times R^3\times l_{02}^3}\right ) \times \cos \alpha \end{matrix}\right\}(公式2-1-4) \\ \beta =a -\frac{(L-S)^2}{2\times l_{02}\times R} $$

第五段方程： HZ～+∞ (第二切线，自变量 S 为从 ZH 点开始至计算点的线长)󠄐󠄹󠅀󠄪󠄤󠄩󠄞󠄦󠄩󠄞󠄧󠄦󠄞󠄧󠄨󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮󠄐󠅅󠄹󠄴󠄪󠄾󠅟󠅤󠄐󠄼󠅟󠅗󠅙󠅞󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮

$$\left.\begin{matrix} x=T_1+T-2\times \cos \alpha + (S-L) \times \cos \alpha \\ x=T_2+\sin \alpha +(S-L)\times\sin \alpha \end{matrix}\right\}(公式2-1-5) \\ \beta =a =\frac{l_{01}+l_{02}}{2\times R} +\frac{L-l_{01}-l_{02}}{R} $$ $$L=\alpha \times R+\frac{l_{01}}{2} +\frac{l_{02}}{2} $$

公式说明：
a——曲线转角；

L——曲线全长；

S ——ZH（HZ）点至计算点间的长度；󠄐󠄹󠅀󠄪󠄤󠄩󠄞󠄦󠄩󠄞󠄧󠄦󠄞󠄧󠄨󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮󠄐󠅅󠄹󠄴󠄪󠄾󠅟󠅤󠄐󠄼󠅟󠅗󠅙󠅞󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮

l₀₁、l₀₂——第一、二缓和曲线长；

R——圆曲线半径。

$$ 曲线总转角：a=\frac{l_{01}+l_{02}}{2\times R }+\frac{L-l_{01}+l_{02}}{R} \\ 测点切线方位角：\beta (rad)\\ 缓和曲线中心角：\beta _o=\frac{l_o}{2\times R} \\ 外矢距：E_o=\left ( R+p \right ) \times \sec \frac{\alpha }{2} -R \\ 缓和曲线内移距：P_1=\frac{l_{01}^2}{24\times R} -\frac{l_{01}^4}{2688\times R^3} ,P_2=\frac{l_{02}^2}{24\times R} -\frac{l_{02}^4}{2688\times R^3} \\ 缓和曲线切垂距：m_1=\frac{l_{01}}{2} -\frac{l_{01}^3}{240\times R^2} +\frac{l_{01}^5}{34560\times R^4},m_2=\frac{l_{02}}{2} -\frac{l_{02}^3}{240\times R^2}+\frac{l_{02}^5}{34560\times R^4} \\ 曲线切线长度：T_1=\frac{R+P_2}{\sin \alpha } -\frac{R+P_1}{tg \alpha }+m_2 $$

如果曲线偏角a 大于 180°时，切线公式为（证明从略）：

$$T_1=（R+p_1）\times tg\left ( \frac{2\times \pi -a}{2} \right ) -\frac{p_1}{\sin \left ( 2\times \pi -a \right ) }+\frac{p_2}{\sin \left ( 2\times \pi -a \right )}-m_1 $$ $$T_2=（R+p_1）\times tg\left ( \frac{2\times \pi -a}{2} \right ) -\frac{p_1}{\sin \left ( 2\times \pi -a \right ) }+\frac{p_1}{\sin \left ( 2\times \pi -a \right )}-m_2 $$

如为曲线向右转，则纵坐标 y=-y ，测点切线方位角：- β（rad），其他与左转曲线一致。

󠄐󠄹󠅀󠄪󠄤󠄩󠄞󠄦󠄩󠄞󠄧󠄦󠄞󠄧󠄨󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮󠄐󠅅󠄹󠄴󠄪󠄾󠅟󠅤󠄐󠄼󠅟󠅗󠅙󠅞󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮󠇘󠆭󠆘󠇙󠆝󠅵󠇗󠆭󠆁󠄐󠇗󠅹󠅸󠇖󠆍󠅳󠇖󠅹󠅰󠇖󠆌󠅹󠄬󠅒󠅢󠄟󠄮