城市轨道交通的平面曲线采用半径较小,且缓和曲线和圆曲线也较短,利用20m弦长测量正矢,点数较少,不利于确保曲线的圆顺性,故改为10m弦量测是合适的。但目前地铁和国铁均无10m弦量测正矢的容许偏差标准,对10m弦量测允许偏差确定的原则应与20m弦长量测时容许偏差相对应或等同,这样在技术上才趋于合理。因此,着重对10m弦量测正矢容许偏差进行探讨分析。
1 曲线正矢差修订的技术原则
1.1 缓和曲线的正矢与计算正矢差
由于缓和曲线计算正矢值与量测弦长是非线性关系,其正矢差及容许偏差标准应按非线性比例关系考虑;同时,正矢差应符合轨距容许偏差及轨距变化顺坡率不大于1‰,困难地段不大于2‰,其他线路不大于%的标准。
1.2 圆曲线正矢连续差
量测弦长改变后，其数值除应符合轨距的容许偏差和变化顺坡率的规定外，偏差容许值应与原弦长量测精度一致。圆曲线正矢、半径与弦长呈非线性关系，其误差也应如此，这是保持原精度的体现。若采用弦长的线性关系来确定圆曲线正矢连续差修改后偏差，则较非线性关系推求，10m弦长较20m弦长精度会有降低的现象。另外，从技术条件考虑，由于圆曲线正矢连续差的出现，使圆曲线成为复合曲线，这样连续差对应的复合曲线各曲线半径应能够保证列车运行在曲线上的规定速度。
1.3 圆曲线正矢最大最小差值
圆曲线的最大最小正矢，从复曲线上体现的是形成最大最小半径，对于制订标准而言，要看最小半径能否满足列车在曲线上规定的速度；再者就是不能因为量测弦长的改变而降低曲线几何形位的精度。
当然，采用缓和曲线的正矢与计算正矢差、圆曲线正矢连续差、圆曲线正矢最大最小差值三者之间的线性比例计算也是一种确定办法，但其应满足原量测弦长偏差的行车速度和精度要求为合适。
2 三者正矢差的确定分析
《北京地铁工务维修规则》（试行）中20m弦长量测曲线正矢容许偏差见表1。
表1 20m弦长量测曲线正矢容许偏差 mm
| 曲线半径/m | 缓和曲线的正矢与计算正矢差 | 圆曲线正矢连续差 | 圆曲线正矢最大最小差值 | |||
| 正线 | 其他线 | 正线 | 其他线 | 正线 | 其他线 | |
| R≤250 | 7 | 8 | 14 | 16 | 21 | 24 |
| 250<R≤350 | 6 | 7 | 12 | 14 | 18 | 21 |
| 350<R≤450 | 5 | 6 | 10 | 12 | 15 | 18 |
| 450<R≤650 | 4 | 5 | 8 | 10 | 12 | 15 |
| R>650 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 12 |
2.1 缓和曲线计算正矢
缓和曲线的计算正矢与圆曲线正矢及缓和曲线分段数相关，以缓和曲线中间各点正矢计算，用20m 弦量测，第i点的缓和曲线计算正矢为
$$f_i^{20}=i\frac{f_y^{20}}{n}=i\frac{L^2}{8Rn}\qquad(1)$$
用 10m弦量测，此点相对应的缓和曲线计算正矢为
$$f_{2i}^{10}=2i\frac{f_y^{10}}{2n}=2i\frac{L^2}{8R(2n)}\\=2i\frac{L^2}{4\times 8R(2n)}=\frac{1}{4}\cdot \frac{L^2}{4\times 8R(2n)}\qquad(2) $$
式中
\(f_y\)———圆曲线正矢；
\(L、l\)———20m 弦长、10m弦长；
\(R\)———圆曲线半径；
\(n\)———20m弦量测缓和曲线分段数。
由上式可得，对缓和曲线上同一点而言，10m弦长量测其计算正矢值为 20m弦长的1/4，为保持精度一致，其正矢差的容许偏差可采用 20m弦长正矢差容许偏差除以4,见表2第1列。
表2 缓和曲线的正矢与计算正矢差 mm
| 曲线半径/m | 正线 | 其他线 | 正线 | 其他线 | 正线 | 其他线 |
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | ||||
| R≤250 | 1.8 | 2 | 2.8 | 3 | 3 | 3 |
| 250<R≤350 | 1.5 | 1.8 | 2.5 | 2.8 | 2 | 3 |
| 350<R≤450 | 1.2 | 1.5 | 2.3 | 2.5 | 2 | 2 |
| 450<R≤650 | 1 | 1.3 | 2 | 2.3 | 2 | 2 |
| R＞650 | 0.8 | 1 | 1.8 | 2 | 1 | 2 |
由于数值较小，考虑到测量示值误差及读数误差带来的影响，将容许偏差放宽1mm，见表2 第 2 列。另外，考虑 R＜250m行车速度低，其他线也是低速，数值向上进，半径 350m以上行车速度相对较高，小数点后数值向下舍去的办法，见表2第3列。在尽量保证精度不变的前提下，既考虑行车速度，又兼顾线路等级，这样较为合理。
2.2圆曲线正矢连续差
（1）按弦长的线性比例计算，得10弦量测圆曲线正矢连续差，见表3。
表3 圆曲线正矢连续差 mm
| 曲线半径/m | 正线 | 其他线 |
| R≤250 | 7 | 8 |
| 250<R≤350 | 6 | 7 |
| 350<R≤450 | 5 | 6 |
| 450<R≤650 | 4 | 5 |
| R >650 | 3 | 4 |
（2）按正矢与弦长的非线性比例确定连续差，见表4。
表4 圆曲线正矢连续差 mm
| 曲线半径/m | 正线 | 其他线 |
| ≤250 | 4(3.5) | 4 |
| 250<R≤350 | 3 | 4(3.5) |
| 350<R≤450 | 3(2.5) | 3 |
| 450<R≤650 | 2 | 3(2.5） |
| R >650 | 2(1.5 ) | 2 |
（3）按容许速度确定偏差
按10m弦长量测的正矢连续差最大时，形成复曲线最小曲线半径，为保持线路技术条件相同，此最小曲线半径应与20m弦长同样条件下形成的复曲线最小曲线半径相等，确定圆曲线正矢连续差。
以半径R=250m 为例：20m弦长量测计算正矢\(f^{20}_{250}=\frac{50000}{250}=200mm\)，容许偏差14mm，即为214mm，对应\(R_{214}=\frac{50000}{214}=233.6m\)，弦长改为10m时，容 许 偏 差 应 满 足 此 半 径。\(R^{10}_{250}=\frac{12500}{250}=50mm\),R为233.6m时，正矢\(R^{10}_{233.6}=\frac{12500}{233.6}=53.5mm\)，偏差53.5-50=3.5mm。同理可求出其他曲线半径范围的容许偏差，见表5.
表5 圆曲线正矢连续差 mm
| 曲线半径/m | 正线 | 其他线 |
| R≤250 | 3.5(可用4) | 4 |
| 250<R≤350 | 3 | 3.5(可用4） |
| 350<R≤450 | 2.5(可用3) | 3 |
| 450<R≤650 | 2 | 2.5(可用3) |
| R >650 | 1.5(可用2） | 2 |
表4、表5的容许偏差相同，只是意义不同，表4是满足容许偏差的精度，10m弦与20m弦长一致。
表5是利用曲线半径体现满足列车运行速度要求。《北京地铁工务维修规则》（试行）规定，曲线正矢容许偏差（暂定标准）见表6。
表6 曲线正矢容许偏差（暂定标准）mm
| 曲线半径/m | 缓和曲线的正矢与计算正矢差 | 圆曲线正矢连续差 | 圆曲线正矢最大最小差值 |
| 250<R≤350 | 3 | 5 | 7 |
| 350<R≤450 | 2 | 4 | 5 |
| 450<R≤650 | 2 | 3 | 4 |
| R >650 | 1 | 2 | 3 |
表6中正线与其他线容许偏差采用同一值,与表4和表5比较,10m弦长的标准较20m弦长降低。而正线与其他线采用同一标准,两者相对而言,正线偏差标准降低较其他线反而多了。因此,标准制定在逻辑上似有不妥，应进一步推敲。
2.3 圆曲线正矢最大最小差值
圆曲线由于正矢差形成的不同半径的复曲线,最大最小正矢差形成的最小曲线半径应满足列车规定运
行速度要求。
仍以半径R=250m为例。20m弦长，标准计算正矢200mm，偏差容许最小曲线半径\(R_{min}=\frac{50000}{200+21}=226.2mm\)，即用10m弦长量测对应的正矢\(f^{10}_{226.2}=\frac{12500}{226.2}=55.3mm\),标准计算正矢为50mm,许偏差为5.3mm同理可求出其他曲线半径范围的容许偏差，见表7。
表7 圆曲线正矢的最大最小差值 mm
| 曲线半径/m | 正线 | 其他线 |
| R≤250 | 5.3 | 6 |
| 250<R≤350 | 4.5(可用4） | 5.3 |
| 350<R≤450 | 3.8(可用4） | 4.5(可用5) |
| 450<R≤650 | 3 | 3.8 |
| R>650 | 2.3 | 3 |
3 关于表6曲线正矢容许偏差（暂定标准）的分析
(1 )表中缓和曲线的正矢与计算正矢差宜补充曲线半径R≤250 m的容许偏差,精度上与20m弦长一致，也符合轨距加宽及轨距变化顺坡率规定。
(2)圆曲线正矢连续差暂定标准较20 m弦长量测容许偏差降低量按曲线半径计算,放大量基本在5%以内，只在曲线半径在2000m(地铁最大曲线半径)时,其偏差达到6. 1%(表8)。也就是说，暂行标准由20m弦长改为10m弦长量测，相对精度降低误差基本在5%之内,还是可以接受的。
表8 20m弦长与10m弦长容许偏差比较
| 曲线半径/m | 20 m弦 | 10 m弦 | (r20 -r10)/r20 | ||||
| 现行工规容许偏差/ mm | 计算正矢＋容许A当偏差/mm | 对应曲线半径( r20）/m | 现行±规容许偏差/mm | 计算正矢＋容许A*合偏差/mm | 对应曲线半径(r20)/m | ||
| 350 | 12 | 155 | 323 | 5 | 41 | 307 | 0.049 |
| 450 | 10 | 121 | 413 | 4 | 32 | 393 | 0.047 |
| 650 | 8 | 85 | 589 | 3 | 22 | 562 | 0.045 |
| 2 000 | 6 | 31 | 1 613 | 2 | 8 | 1 515 | 0.061 |
同理，圆曲线正矢最大最小差值，暂定标准从曲线半径分析，其偏差精度降低基本在6%之内。
4 结语
从轨道维修的角度看，曲线测量弦长由20m改为10 m,主要是为使圆曲线更加圆顺,因此容许偏差精度不宜低于20m弦长量测为好。从标准的严密性和规定的逻辑性,笔者建议暂定标准应与20 m弦长量测标准的精度一致,并补充曲线半径R≤250 m的规定,按轨道用途,应划分正线与其他线不同标准。建议曲线正矢容许偏差(暂定标准)见表9。
表9 曲线正矢容许偏差（暂定标准） mm
| 曲线半径/m | 缓和曲线的正矢与计算正矢差 | 圆曲线正矢连续差 | 圆曲线正矢最大最小差值 | |||
| 正线 | 其他线 | 正线 | 其他线 | 正线 | 其他线 | |
| ≤250 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 6 |
| 250<R≤350 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 |
| 350<R≤450 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
| 450<R≤650 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 |
| R >650 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 3 |
表9的标准能够满足曲线量测弦长由20 m改为10 m,容许偏差精度一致,曲线容许列车运行速度不降低，轨距加宽及变化率亦满足规定的要求，同时也利于曲线轨道分级管理。
文章来源：
原文名称：地铁10m弦长测量曲线正矢容许偏差的标准确定分析
作者信息：王玮1，袁昊2（1. 中铁工程设计咨询集团公司轨道设计研究院，2.北京地铁线路公司，）
期刊信息：铁道标准设计 2006（4）
